En la Física Clásica (la física conocida hasta finales del siglo pasado), encontrábamos dos tipos de fuerzas para asegurar la cohesión de la materia en sus diversos niveles de organización; las fuerzas gravitatorias y las electro-magnéticas. Las primeras, importantes a escalas astronómicas dan cuenta de la ligazón de los planetas al sol, (formando el sistema solar), y a escalas mayores de organización, agrupaciones de estrellas, cúmulos globulares, nuestro sistema galáctico, etc.. En cada nivel de organización, sus componentes se ligan entre sí a través de fuerzas gravitatorias.

Tales fuerzas también daban cuenta de la ligazón de la materia para formar los componentes básicos del cosmos (soles y estrellas). Ellos se pueden entender en último término a través de la contracción de grandes nubes de polvo y gas (las llamadas nebulosas galácticas); contracción causada por las fuerzas gravitatorias entre sus componentes. Una vez formadas estas unidades, la misma fuerza gravitatoria asegura su estabilidad futura. Por ejemplo, en nuestra tierra sólo podemos disgregar una porción de material, si a este le imprimimos una velocidad de 11.2 Km/seg, situación que no puede ocurrir por procesos naturales.

Al descender a escalas menores de organización, sin embargo, las fuerzas gravitacionales no permiten entender ya porqué los átomos de una piedra, o de un trozo de metal, están congregados formando un sólido. Tampoco las fuerzas gravitacionales permiten entender la cohesión química: ¿ Por qué en el proceso de combustión se unen un átomo de carbón y dos átomos de oxígeno para formar la molécula de CO₂?.

Los experimentos de electrólisis realizados el siglo pasado dieron la clave sobre la cohesión química, asociándola a fuerzas eléctricas entre cargas positivas y negativas que constituían los átomos. Un átomo aislado debía ser neutro, pero al entrar en reacción química podía ceder o absorber cargas eléctricas, generándose así cationes (carga positiva) y aniones (carga negativa), los que se atraían mutuamente.

Por ejemplo, en el caso de la sal corriente, ella está constituida por átomos de sodio (un metal muy reactivo cargado positivamente (Na⁺) y de Cloro con carga negativa (Cl^-) (*). Posteriormente se determinó que las cargas intercambiables eran negativas (electrones). Estas últimas partículas resultaron poseer una masa despreciable en comparación a los otros constituyentes de un átomo (aproximadamente en un factor 1/2000).

Los experimentos de Rutherford (1911) mostraron que a pesar de su poca masa, los electrones ocupan la mayor parte del volumen atómico, estando las cargas positivas concentradas en el núcleo, con un tamaño unas 10.000 a 100.0000 veces menor. La imagen del átomo que entonces surgió fue como una réplica en miniatura del sistema solar, donde el núcleo jugaba el rol del sol, y los electrones el papel de los planetas. No obstante existe una gran diferencia: la fuerza que ligaba núcleo (de carga +) y electrón (de carga -), es electrostática (cargas de signo opuesto se atraen), y no gravitatoria. De hecho, las fuerzas electrostáticas entre electrones y núcleo son unas 10³⁹ veces mayores que las fuerzas gravitatorias asociadas (¡Mil billones de billones de billones de veces superior!). De acuerdo a dichas hipótesis, determinar la órbita de un electrón entorno al núcleo atómico es elemental. Por ejemplo, para un electrón moviéndose en una órbita circular de radio R, basta con igualar la fuerza electrostática, F_e, con la así llamada "fuerza centrífuga"; F_c, que en rigor corresponde al negativo del producto entre la masa del electrón y la aceleración necesaria para que una partícula se mueva en una trayectoria circular (Fig. 1). Es decir, F_e+F_c= 0 ,con:

F_e= ( -r / R ) e ² Z

F_c= m_e ( v² / R ) r

Acá m_c es la masa del electrón, -e su carga, +Ze la carga del núcleo es un entero, del átomo; por ejemplo, para el hidrógeno Z=1, para el carbón Z=6, para el Uranio Z=92, etc.). Por último V es la velocidad del electrón y r un vector unitario (de longitud 1) que apunta desde la posición al núcleo del electrón. De acuerdo a la relación (1), los electrones podían tener una infinitud de órbitas posibles; en principio cualquier valor de V parece legítimo, y por lo tanto cualquier valor de R. Además el plano de la órbita circular puede adoptar una infinitud de orientaciones posibles. Por último, se pueden considerar órbitas no circulares, lo que aumenta más aún el número de opciones de las órbitas de un electrón en torno al núcleo.

La energía del electrón en torno al núcleo E, se puede obtener sumando las energías cinéticas, E_k = 1/2 m_c V², y energía potencial, E_p Esta última se define como el valor negativo del trabajo que hay que realizar para llevar al electrón desde una posición r R hasta infinito. Usando matemáticas avanzadas (cálculo integral), se obtiene que la energía total viene dada por

E = E_k + E_p = p²/2m_e= Z_e²/ R (2)

siendo ella una constante en el tiempo. De acuerdo a la discusión anterior, pareciera concluirse que E se puede variar en forma continua.

En la relación (2) hemos expresado la energía cinética en función del momentum del electrón. P = m_e V. para efecto de facilitar la futura discusión.

Añadamos un nuevo antecedente a la fenomenología atómica: a partir de las investigaciones de Kirchhoff (1859) se sabe que los átomos emiten luz en forma discreta. Más explícitamente, un gas atómico (a baja presión), sólo irradia luz para ciertas tonalidades de color muy precisas, las que, en lenguaje técnico, se asocian a "longitudes de onda" bien definidas.

La noción de "longitud de onda" se explicará en un próximo cuaderno. De momento digamos que, en determinadas circunstancias, la luz aparece como un fenómeno ondulatorio, en cierto modo análogo a las ondulaciones que se producen en el agua cuando se arroja una piedra; en ese ejemplo la longitud de onda, que designaremos por l corresponde a la separación entre dos crestas, (ver figura 2).

El espectro discreto, característico de cada especie atómica, se puede obtener en el laboratorio al descomponer la luz proveniente del gas atómico incandescente usando un prisma y un montaje como el de la figura 3. Si en vez de un gas atómico usamos una lámpara de filamento incandescente, se obtiene un resultado similar al de un arcoiris, donde aparece una gama continua de tonalidades (espectro continuo), empezando por el rojo, pasando por el naranja, amarillo, verde azul y concluyendo en el violeta.

Contrariamente, para un gas atómico incadescente, sólo se observa un conjunto discreto de líneas muy estrechas, cuya ubicación depende de la especie atómica, y que se conoce como "espectro atómico".

A modo de ejemplo, las luces de mercurio y sodio del alumbrado público deben su coloración característica a las líneas de emisión más intensas de los respectivos espectros atómicos.Incidentalmente destacamos que el análisis espectral de la luz proveniente de las estrellas y nebulosas permite de terminar su composición química. A pesar que ellas se encuentran a enormes distancias de nosotros. ¡Otra notable proeza del intelecto humano!.

Por otro lado, la interpretación del "efecto fotoeléctrico" por A. Einstein (1905) permitió concluir que la longitud de onda de la luz, l está directamente asociada a las "unidades elementales" de energía que ella transporta (los llamados fotones), de acuerdo a la relación

E_l =(h/l) c, hc= 0.000125 (ev cm) (3)

(donde c = 3* 10^-10 cm es la velocidad de la luz h es la llamada constante de Planck. y lev = 1.6* 10^-19 Joules);. Acá ev (electron-volt) es la unidad de energía apropiada para la escala atómica. De este modo, una longitud de onda de 0.7* 10^-4 cm (asociada al color rojo) corresponde a fotones de 1.8 ev; a medida que nos movemos desde el rojo al violeta en el espectro continuo, l disminuye constantemente. Para esta última tonalidad se tiene l = 0.4* 10^-14 cm, y una energía asociada de 3.2 ev.

Usando la conservación de la energía resulta natural esperar que la energía luminosa irradiada por un átomo provenga de un "cambio de órbita" de un electrón que gira a su alrededor, el cual pasa de una órbita con energía E₁, a otra menos energética E₂, esto es: E₂ < E₁, (figura 4), disipándose la diferencia de energía a través de un fotón de longitud de onda l.

E₁ -E₂ = E_l (4)

El hecho que sólo se observa un número discreto de valores de l para la luz emitida por un átomo indica que también los estados posibles de energía de un átomo deben formar un espectro discreto, en evidente contradicción con la discusión en torno a la relación (2). Esta contradicción fue uno de los cuestionamientos importantes a la Física Clásica.

Las dificultades de la física Clásica sólo se resolvieron con el surgimiento de la Física Cuántica en la tercera década del presente siglo. Esta nueva teoría permitió describir no sólo la fenomenología entonces conocida, sino que hizo asombrosas predicciones. Entre estas últimas destacamos la existencia de estrellas de neutrones y de la antimateria, predicciones que posteriormente han tenido resonantes ratificaciones experimentales.

(*) No siempre la cohesión química admite una imagen tan simple; por ejemplo en moléculas como el O₂ o el H₂ los átomos participantes no pueden adquirir cargas opuestas, ya que son de la misma especie.


Parte II

En el fascículo anterior mostramos la visión clásica de la estructura de la materia; ella pretendía usar la Mecánica Newtoniana para entender la organización del Universo en sus distintas escalas, usando fuerzas gravitatorias (escala astronómica) y eléctricas (escala microscópica). En esta visión el átomo se asemejaba a un sistema planetario, en el cual los electrones (carga negativa -e), giraban en torno del núcleo (carga positiva +Ze) atraídos por la fuerza couloumbiana.

Una primera dificultad de este modelo es su incapacidad de explicar que la energía de ligazón de los electrones sólo pueda tomar un número discreto de valores como se desprende de la existencia de unidades indivisibles de energía luminosa (fotones) y de las características del espectro de emisión atómica.

Durante el siglo pasado, la Física incorporó conceptos que iban más allá de la Mecánica newtoniana. Gracias a los trabajos de Faraday, Maxwell y otros, se logró establecer las leyes del Electromagnetismo, que describen como cargas en movimiento pueden generar campos eléctricos y magnéticos y cómo estos campos pueden propagarse dando lugar a ondas electromagnéticas (en particular la luz visible es una onda electromagnética). Se estableció además que una partícula cargada acelerada debía irradiar. Esto último entra en conflicto con la imagen clásica del átomo, puesto que si el electrón estaba siendo acelerado constantemente por la fuerza electrostática, debía irradiar energía luminosa y por lo tanto perder energía que inevitablemente se traduciría en una reducción de su radio orbital, hasta finalmente caer dentro del núcleo atómico (fig.5). El proceso de colapso del electrón en el núcleo atómico debería demorar tan sólo 10-9segundos, según cálculos de la Teoría del Electromagnetismo. Si esto fuera así, también habría una formidable reducción del tamaño atómico hasta el tamaño nuclear (cien mil veces menor), lo que implicaría también un colapso de la materia macroscópica. Más aún, los núcleos atómicos que también poseen carga (protones) deberían irradiar reduciendo su tamaño a dimensiones puntuales.

Por lo tanto, la física con el hecho cotidiano de volumen finito y no se reduce a partículas de tamaño puntual e infinita densidad.

Los físicos debieron cambiar la materia para salvar estas dificultades. Se siguió un camino inverso al estudio de la luz, que Maxwell primero concibió como onda y luego Einstein le introdujo atributos de partícula, aunque sin eliminar su naturaleza ondulatoria (de hecho, la relación 3 invoca el concepto de longitud de onda).

En el caso del electrón primero se detuvo la imagen de partícula se determinó su masa mc, y su carga -e. Posteriormente se trató de combinar esta imagen de partícula con una concepción ondulatoria. Intuitivamente las imágenes de partícula y onda son excluyentes entre sí pero los físicos debieron aceptar que nuestra intuición está forjada por la experiencia cotidiana. Podemos ver la trayectoria de una piedra (partícula) o las ondas que ella genera al caer el agua, pero estas imágenes no son aplicables para obtener la comprensión de los constituyentes últimos de la materia. Nuestro conocimiento del mundo atómico se obtiene a través de mediciones indirectas. La teoría que se busca debe poder predecir matemáticamente los resultados de los múltiples procesos de medición que podemos efectuar para conocer el mundo atómico y subatómico. Pero tal teoría no debe buscar dar imágenes de lo que ocurre "realmente" a tal escala. El pretender usar imágenes intuitivas puede llevar a severas contradicciones.

Bajo estas premisas se desarrollo la nueva teoría conocida como Mecánica Cuántica; ella fue sugiriendo en la década 1920-1930, y en su elaboración destacaron Bohr, de Broglie, Heinsenberg, y Schödinger, entre otros. No podemos detallar acá las bases matemáticas de la Mecánica Cuántica; pero para dar una somera idea de tal teoría necesitamos introducir el concepto de función de onda. En la figura 6 se muestra una cuerda en la dirección x, vibrando en el plano xy. Llamemos y(x), a la elongación en la dirección y del punto x: sea L el largo de la cuerda. Llamamos función de onda a la colección de valores y x), (con o
y (0) =0 y (L) =0

Tal función de onda en principio puede tener cualquier forma, sólo limitada por la relación (5), pero el análisis se hace más simple al elegir ondas sinusoidales, llamadas "modos normales",

f_n (x)= A sen (2nx / l) con l = (2L/n ) (6)

En este caso n es un entero, que no da el número de "valles" y "montes" de f (x), (tres en caso de la figura (6) y l corresponde a la longitud de onda. Cualquier función de onda y (x) puede escribirse como una suma de estos modos normales.

Volvamos ahora a la mecánica cuántica y por simplicidad pensemos en una sola partícula, por ejemplo un electrón en torno a un núcleo de hidrógeno: la teoría cuántica asigna una función de onda y(r) al particular estado del electrón, con r un punto cualquiera del espacio (en vez de un punto x de la cuerda antes citada) y y(r) es en general un número complejo, aunque aquí nos limitaremos al caso real, y así lo supondremos. La función de onda cuántica tiene una interpretación mucho más sutil que la asociada a una cuerda vibrante. No describe esta vez vibraciones de un medio, sino que con ella podemos hacer una serie de predicciones de tipo probabilístico sobre el resultado de un experimento. Así, por ejemplo, la probabilidad de encontrar una partícula en las vecindades del punto r es proporcional a(y(r))² Como la función de onda está difundida en el espacio y no concentrada en un punto (figura 7), no se puede determinar en un 100% de seguridad la presencia de la partícula en tal o cual posición. Esto choca con nuestra imagen clásica de que un objeto ocupa un punto fijo del espacio en cada instante del tiempo, definiendo así una trayectoria. En cambio en mecánica cuántica no existen trayectorias.

El momento lineal p de una partícula cuántica en general tampoco está definido nítidamente; la excepción ocurre con funciones de onda sinusoidales, como la indicaba en la relación (6), donde el módulo del momento viene dado por :
p= h /l

h:constante de Planck (7)

Esta relación, de vida a de Broglie, ha sido confirmada experimentalmente tanto para fotones como para partículas.En consonancia con el análisis en torno a la relación (6), supongamos que nuestra partícula está localizada espacialmente en una región de extensión L ; de (6) y (7) sigue que:

p= h /2L * n (8)

Y el valor mínimo de p corresponde a n= 1 (para el valor n= 0, f_>n(x)=0 , para todo x, lo que no es admisible). Resulta plausible elegir Dx =L2 como la extensión espacial de la función de onda (indeterminación en la posición de la partícula). La función (6) predice dos valores por el momento +/- p lo que lleva a la dispersión Dp= p, y de (8), Dp Dx= h/4

Con mayor rigor matemático, Heisenberg concluyó que:

Dp* Dx > h/2p = h (p= 3.14159...) (9)

Esta relación se conoce como Principio de Incerteza de Heisenberg, y ella pone cotas insalvables a la posibilidad de conocer simultáneamente la posición y el momento de una partícula. Mientras más afinamos la localización espacial de la partícula, más aumenta la indeterminación de su momento y por ende, su energía cinética.

Ahora ya podemos explicar cualitativamente por qué los electrones no se precipitan sobre los núcleos atómicos, ya la materia no colapsa.

De hecho, si nuestro electrón cuántico se constriñe a valores Dx cada vez menores (al ir cayendo el electrón al núcleo) su energía cinética empieza a crecer indefinidamente, y llegará el momento en el cual el electrón no está perdiendo energía, sino que incrementándola. Por cierto esto último es imposible pues no tiene de donde absorberla.

Para una función de onda electrónica con una extensión espacial media Dx= a (figura 7) podemos estimar la dispersión en su momento lineal mediante relación (9) y concluir

E_k= Dp²/2m_c = h²/2m_ca² (10)

Es el caso cuántico el rol de radio R de una órbita clásica lo juega la extensión espacial media de la función de onda. Si reemplazamos R por a y usamos relación (10) en (2a) tenemos,

E= E_k + E_p = h²/2m_ca² - Ze²/a (11)

En figura 8 se muestra un gráfico de la energía versus a; para los valores de a > a_m tenemos que la energía E(a) decrece con a, y por lo tanto en tal rango el electrón puede irradiar la energía que pierde al acercarse al núcleo. Una vez que a=a_m, ya no es posible extraer más energía del proceso de caída del electrón al núcleo y el electrón e estabiliza en la energía E₁. Para ubicarse el mínima a=a_m en relación (11) se necesita usar cálculo diferencial, obteniéndose la relación (12):

a_m= h²/m_ce²Z =
a_B/Z E₁ = -Z² e² / 2a_B =: Z²R_y

Reemplazando (12) los valores de h la masa del electrón (9.1* 10^-28 gr) y su carga (-e= 4.8*¹⁰ se concluye

a_B = 0.53* 10^-8 cm y R_y = 13.6eV

Estos valores corresponden a las dimensiones y energías típicas de un átomo. En el caso del átomo de hidrógeno, las estimaciones de relación (2) son excelentes.
De este modo, la Mecánica Cuántica ha sido exitosa en explicar cualitativamente la estabilidad de la materia, sino que además puede hacer predicciones numéricas precisas.

Para entender por qué la energía de un electrón sólo puede tomar un número discreto de valores analicemos, por simplicidad, el caso unidimensional descrito en figura 6, aunque ahora pensando una partícula en una caja de largo L de paredes impenetrables. Esto lleva a un número discreto de valores para el módulo del momento lineal p, de acuerdo a la relación (9). Además, mientras la partícula está en la región 0 < x < L sobre ella no actúa ninguna fuerza, lo que significa que su energía es puramente cinética (E=E_k). De este modo, la energía asociada con la función de onda de relación (6) viene dada por:

E_n = p² / 2m = h² n² / 8m L² (13)

Esta expresión nos muestra que nuestra partícula no puede asumir un valor arbitrario de la energía. Si la partícula en cuestión posee carga (como el electrón) y no está en el nivel de menor energía n= 1, entonces ella irradiará cambiando de estado, pero tanto el estado inicial como el final deben estar descritos por la ecuación (13), de modo que la energía irradiada en forma de luz sólo pueda asumir valores discretos, como se explicó en relación (4) : lo último da cuenta de las características del espectro atómico.

Aplicando los conceptos de la Mecánica Cuántica a sistemas más complejos se ha podido entender desde la ligazón molecular hasta las formas como puede morir una estrella, dando eventualmente lugar a una espectacular explosión tipo supernova. Sin duda, que en el futuro esta teoría nos seguirá ayudando a entender el Universo.



Jaime Rösaler y Gabriela Salazar

Facultad de Ciencias
Universidad de Chile.